Salutations.
Pour répondre à tes questions: oui, la batterie se recharge en roulant grâce au stator (qui fait alternateur) et au régulateur de tension.
Si la batterie est déchargée, il est possible de rouler, mais pas si elle est absente (dans le cas d'un moteur 4 temps)
Le souci est peut être interne au démarreur. J'ai eu plusieurs cas sur des scooters qui avaient leur démarreur qui fonctionnait, mais pas de façon optimale. Dans certains cas, je les démontais et nettoyais à l'intérieur, dans d'autres je ne chipotais pas et le remplaçais...